Классический метод Рунге-Кутты — различия между версиями
м |
|||
(не показано 8 промежуточных версий этого же участника) | |||
Строка 1: | Строка 1: | ||
− | '''Классический [[метод Рунге-Кутты]]''' — это численный метод получения решения дифференциального уравнения. | + | '''Классический [[метод Рунге-Кутты]]''' — это численный метод получения решения [[Линейное дифференциальное уравнение|дифференциального уравнения]]. |
== Описание метода == | == Описание метода == | ||
− | Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения '''y=y(x)''' дифференциального уравнения вида '''y’=f(x,y)''' с начальным условием '''(x<sub>0</sub> | + | Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения '''y=y(x)''' дифференциального уравнения вида '''y’=f(x,y)''' с начальным условием '''(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>)'''. |
− | Классический [[Обобщённый метод Рунге-Кутты|метод Рунге-Кутты]] является методом 4-го порядка точности и называется методом Рунге-Кутты 4-го порядка | + | Классический [[Обобщённый метод Рунге-Кутты|метод Рунге-Кутты]] является методом 4-го порядка точности и называется '''методом Рунге-Кутты 4-го порядка'''. |
== Формулы == | == Формулы == | ||
[[файл:МРК04.JPG]] | [[файл:МРК04.JPG]] | ||
Строка 42: | Строка 42: | ||
'''m''' – порядок точности формулы. | '''m''' – порядок точности формулы. | ||
− | + | * Заметим, что обобщением '''классического метода Рунге-Кутты''' является '''[[обобщённый метод Рунге-Кутты]]''', используемый для решения систем дифференциальных уравнений. | |
− | *[[ | + | == [[Методы решения дифференциальных уравнений|Другие методы:]] == |
− | + | {{Список МРДУ}} | |
− | + | ||
− | + | ||
− | + | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
* Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. | * Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. |
Текущая версия на 13:17, 26 мая 2017
Классический метод Рунге-Кутты — это численный метод получения решения дифференциального уравнения.
Содержание
Описание метода
Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x0,y0).
Классический метод Рунге-Кутты является методом 4-го порядка точности и называется методом Рунге-Кутты 4-го порядка.
Формулы
Правило Рунге
Для оценки точности расчёта решения y (например, необходимо рассчитать решение y с помощью значения для y при шаге h/2) на практике можно применять правило Рунге:
yh – значение решения y при шаге h,
yh/2 – значение решения y при шаге h/2,
m – порядок точности формулы.
Условие применения правила Рунге строго задаётся следующим неравенством:
yh – значение решения y при шаге h,
yh/2 – значение решения y при шаге h/2,
y2h – значение решения y при шаге 2h),
m – порядок точности формулы.
Правило Коллатца
При выборе шага h для достижения заданной точности решения дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) классическим методом Рунге-Кутты на практике можно применять более простое правило Коллатца:
Формула Ричардсона
Более точным (по крайней мере на порядок выше, т.е. с порядком точности m+1) значением y (по сравнению со значением yh/2) является значение y*, вычисленное или экстраполированное по формуле Ричардсона:
yh – значение решения y при шаге h,
yh/2 – значение решения y при шаге h/2,
m – порядок точности формулы.
- Заметим, что обобщением классического метода Рунге-Кутты является обобщённый метод Рунге-Кутты, используемый для решения систем дифференциальных уравнений.
Другие методы:
- метод Эйлера;
- исправленный метод Эйлера;
- усовершенствованный метод Эйлера;
- метод Адамса третьего порядка;
- метод Рунге-Кутты третьего порядка;
- классический метод Рунге-Кутты.
- Для решения систем дифференциальных уравнений используется обобщённый метод Рунге-Кутты.
Ссылки
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.
- Участник:Logic-samara