Классический метод Рунге-Кутты — различия между версиями
Ws (обсуждение | вклад) (Восстановление статей Logic-samara) |
м |
||
| (не показано 9 промежуточных версий этого же участника) | |||
| Строка 1: | Строка 1: | ||
| − | + | '''Классический [[метод Рунге-Кутты]]''' — это численный метод получения решения [[Линейное дифференциальное уравнение|дифференциального уравнения]]. | |
| − | '''Классический [[метод Рунге-Кутты]]''' | + | == Описание метода == |
| − | + | Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения '''y=y(x)''' дифференциального уравнения вида '''y’=f(x,y)''' с начальным условием '''(x<sub>0</sub>,y<sub>0</sub>)'''. | |
| − | Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения '''y=y(x)''' дифференциального уравнения вида '''y’=f(x,y)''' с начальным условием '''(x<sub>0</sub> | + | |
| − | + | ||
| − | + | ||
| + | Классический [[Обобщённый метод Рунге-Кутты|метод Рунге-Кутты]] является методом 4-го порядка точности и называется '''методом Рунге-Кутты 4-го порядка'''. | ||
== Формулы == | == Формулы == | ||
[[файл:МРК04.JPG]] | [[файл:МРК04.JPG]] | ||
| − | |||
== Правило Рунге == | == Правило Рунге == | ||
Для оценки точности расчёта решения '''y''' (например, необходимо рассчитать решение y с помощью значения для '''y''' при шаге '''h/2''') на практике можно применять '''правило Рунге''': | Для оценки точности расчёта решения '''y''' (например, необходимо рассчитать решение y с помощью значения для '''y''' при шаге '''h/2''') на практике можно применять '''правило Рунге''': | ||
| Строка 31: | Строка 28: | ||
'''m''' – порядок точности формулы. | '''m''' – порядок точности формулы. | ||
| − | |||
== Правило Коллатца == | == Правило Коллатца == | ||
При выборе шага '''h''' для достижения заданной точности решения дифференциального уравнения вида '''y’=f(x,y)''' классическим методом Рунге-Кутты на практике можно применять более простое '''правило Коллатца''': | При выборе шага '''h''' для достижения заданной точности решения дифференциального уравнения вида '''y’=f(x,y)''' классическим методом Рунге-Кутты на практике можно применять более простое '''правило Коллатца''': | ||
[[файл:МРК05.JPG]]. | [[файл:МРК05.JPG]]. | ||
| − | |||
== Формула Ричардсона == | == Формула Ричардсона == | ||
Более точным (по крайней мере на порядок выше, т.е. с порядком точности '''m+1''') значением '''y''' (по сравнению со значением '''y<sub>h/2</sub>''') является значение '''y*''', вычисленное или экстраполированное по '''формуле Ричардсона''': | Более точным (по крайней мере на порядок выше, т.е. с порядком точности '''m+1''') значением '''y''' (по сравнению со значением '''y<sub>h/2</sub>''') является значение '''y*''', вычисленное или экстраполированное по '''формуле Ричардсона''': | ||
| Строка 47: | Строка 42: | ||
'''m''' – порядок точности формулы. | '''m''' – порядок точности формулы. | ||
| − | + | * Заметим, что обобщением '''классического метода Рунге-Кутты''' является '''[[обобщённый метод Рунге-Кутты]]''', используемый для решения систем дифференциальных уравнений. | |
| − | + | == [[Методы решения дифференциальных уравнений|Другие методы:]] == | |
| − | *[[ | + | {{Список МРДУ}} |
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
| − | + | ||
== Ссылки == | == Ссылки == | ||
| − | * Демидович Б. П., Марон И. | + | * Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970. |
* Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. | * Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970. | ||
* [[Участник:Logic-samara]] | * [[Участник:Logic-samara]] | ||
[[Категория:Численные методы]] | [[Категория:Численные методы]] | ||
Текущая версия на 13:17, 26 мая 2017
Классический метод Рунге-Кутты — это численный метод получения решения дифференциального уравнения.
Содержание
Описание метода
Суть метода Рунге-Кутты в пошаговом вычислении значений решения y=y(x) дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) с начальным условием (x0,y0).
Классический метод Рунге-Кутты является методом 4-го порядка точности и называется методом Рунге-Кутты 4-го порядка.
Формулы
Правило Рунге
Для оценки точности расчёта решения y (например, необходимо рассчитать решение y с помощью значения для y при шаге h/2) на практике можно применять правило Рунге:
, где
yh – значение решения y при шаге h,
yh/2 – значение решения y при шаге h/2,
m – порядок точности формулы.
Условие применения правила Рунге строго задаётся следующим неравенством:
, где
yh – значение решения y при шаге h,
yh/2 – значение решения y при шаге h/2,
y2h – значение решения y при шаге 2h),
m – порядок точности формулы.
Правило Коллатца
При выборе шага h для достижения заданной точности решения дифференциального уравнения вида y’=f(x,y) классическим методом Рунге-Кутты на практике можно применять более простое правило Коллатца:
.
Формула Ричардсона
Более точным (по крайней мере на порядок выше, т.е. с порядком точности m+1) значением y (по сравнению со значением yh/2) является значение y*, вычисленное или экстраполированное по формуле Ричардсона:
, где
yh – значение решения y при шаге h,
yh/2 – значение решения y при шаге h/2,
m – порядок точности формулы.
- Заметим, что обобщением классического метода Рунге-Кутты является обобщённый метод Рунге-Кутты, используемый для решения систем дифференциальных уравнений.
Другие методы:
- метод Эйлера;
- исправленный метод Эйлера;
- усовершенствованный метод Эйлера;
- метод Адамса третьего порядка;
- метод Рунге-Кутты третьего порядка;
- классический метод Рунге-Кутты.
- Для решения систем дифференциальных уравнений используется обобщённый метод Рунге-Кутты.
Ссылки
- Демидович Б. П., Марон И. А. Основы вычислительной математики. М.: Наука, 1970.
- Корн Г., Корн Т. Справочник по математике для научных работников и инженеров. М.: Наука, 1970.
- Участник:Logic-samara
