5968 байтов добавлено,
15:06, 15 ноября 2015 [[файл:СМО22.JPG|thumb|300|[[Математическая модель]] СМО с очередью]]
== Определение ==
'''[[СМО с бесконечной очередью|СМО с очередью]]''' — это [[система массового обслуживания]], в которой есть места в очереди и если заявка приходит, в момент, когда все каналы заняты, то она не получает немедленно отказа, а может стать в очередь и ожидать освобождения канала, который её может обслужить.
== Постановка задачи ==
На вход '''n'''-канальной СМО с '''m'''-очередью поступает простейший поток заявок с интенсивностью '''λ'''. Интенсивность простейшего потока обслуживания каждого канала '''μ'''.
Если заявка застаёт все каналы свободными, то она принимается на обслуживание и обслуживается одним из '''n''' каналов. После окончания обслуживания один канал освобождается.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в системе свободным хотя бы один канал, то она принимается на обслуживание одним из свободных каналов и обслуживается до конца.
Если заявка застаёт все каналы занятыми, то она становится в очередь и «терпеливо» ждёт своего обслуживания.
Дисциплина очереди естественная: кто раньше пришёл, тот раньше и обслуживается. Максимальное число мест в очереди '''m'''.
Если вновь прибывшая заявка застаёт в очереди '''m'''-заявок, то она получает отказ и исключается из обслуживания.
Состояние рассмотренной системы будем связывать с числом заявок, находящихся в системе.
== Граф состояний ==
Граф состояний имеет вид:
[[файл:СМО21.JPG]]
Рассмотрим множество состояний системы:
'''S<sub>0</sub>''' – в системе нет ни одной заявки, все каналы свободны;
'''S<sub>1</sub>''' – в системе имеется одна заявка, она обслуживается одним каналом;
'''S<sub>2</sub>''' – в системе имеется две заявки, они обслуживаются двумя каналами;
'''…''';
'''S<sub>k</sub>''' – в системе имеется '''k'''-заявок, они обслуживаются '''k'''-каналами;
'''…''';
'''S<sub>n</sub>''' – в системе имеется '''n'''-заявок, они обслуживаются '''n'''-каналами, очереди нет;
'''S<sub>n+1</sub>''' – в системе имеется '''(n+1)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а одна заявка ожидает в очереди;
'''…''';
'''S<sub>n+r</sub>''' – в системе имеется '''(n+r)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, каналами, а '''r'''-заявок ожидают в очереди;
'''…''';
'''S<sub>n+m</sub>''' – в системе имеется '''(n+m)'''-заявок, '''n''' из них обслуживаются '''n'''-каналами, а '''m'''-заявок ожидают в очереди;
== Система дифференциальных уравнений ==
Система дифференциальных уравнений, описывающих поведение системы, имеет вид:
[[файл:СМО22.JPG]]
Рассмотрим стационарный режим работы системы (при '''t→∞''').
Система уравнений принимает вид:
[[файл:СМО23.JPG]]
Суммируя в системе уравнения с первого до '''i'''-го ('''i=1,n+m'''), получаем упрощённый вид системы.
Решим систему относительно '''p<sub>0</sub>,p<sub>1</sub>,…,p<sub>n+m</sub>'''.
[[файл:СМО24.JPG]]
[[файл:СМО30.JPG]]
В результате получаем решение системы:
[[файл:СМО26.JPG]]
== Основные характеристики системы ==
[[файл:СМО27.JPG]]
При '''χ≠1''' получаем
[[файл:СМО28.JPG]]
При '''χ=1''' получаем
[[файл:СМО29.JPG]]
== Другие СМО: ==
* [[СМО с отказами]];
* [[СМО с ограниченным временем ожидания]];
* [[СМО замкнутая]] с очередью;
* [[СМО с взаимопомощью]] с очередью;
* [[СМО с отказами и взаимопомощью]];
* [[СМО с бесконечным числом каналов]];
* [[СМО с бесконечной очередью]];
* [[СМО замкнутая без очереди]].
== Ссылки ==
* Овчаров Л. А. Прикладные задачи теории массового обслуживания, «Машиностроение», М.,1969.
* [[Участник:Logic-samara]]
[[Категория:Случайные процессы]]
[[Категория:Логистика]]