Система счисления — различия между версиями

Материал из ALL
Перейти к: навигация, поиск
м
 
(не показано 11 промежуточных версий 2 участников)
Строка 1: Строка 1:
−
'''Система счисления''' — это система записи чисел с помощью цифр, причём положение цифры в числе определяет её вес и численное значение.
+
'''Система счисления''' — это система записи [[Число|чисел]] с помощью цифр, причём положение цифры в числе определяет её вес и численное значение.
  
−
Система счисления полностью определяется основанием – числом, которое определяет число цифр (начиная с цифры ноль) в системе и степени которого (начиная с нулевой) определяют веса разрядов чисел (справа налево).
+
Система счисления полностью определяется основанием – числом, которое определяет число цифр (начиная с цифры ноль) в системе и степени которого (начиная с нулевой) определяют веса разрядов чисел (справа-налево).
−
== Примеры систем счисления: ==
+
== Обозначения: ==
−
* двоичная (цифры:0-1);
+
'''m''' – основание системы счисления, '''m>1''' – натуральное число;
−
* троичная (цифры:0-2);
+
 
−
* четверичная (цифры:0-3);
+
'''a<sub>m</sub>''' – натуральное число в '''m'''-ричной системе счисления;
−
* пятеричная (цифры:0-4);
+
 
−
* шестеричная (цифры:0-5);
+
'''a<sub>10</sub>''' – натуральное число в десятичной системе счисления;
−
* семеричная (цифры:0-6);
+
 
−
* восьмеричная (цифры:0-7);
+
'''n''' – число цифр в числе '''a<sub>m</sub>''';
−
* девятеричная (цифры:0-8);
+
 
−
* десятичная (цифры:0-9);
+
'''b<sub>j_m</sub>''' – '''j'''-тая (справа-налево) '''m'''-ричная цифра числа '''a<sub>m</sub>''', принимает значения цифр от '''0''' до '''9''' и латинских букв '''A, B, C, ...''';
−
* одиннадцатеричная (цифры:0-9,A);
+
 
−
* двенадцатеричная (цифры:0-9,A-B);
+
'''b<sub>j_10</sub>''' – десятичное число соответствующее '''j'''-той (справа-налево) '''m'''-ричной цифре числа '''a<sub>m</sub>''', принимает значения от '''0''' до '''m-1'''.
−
* тринадцатеричная (цифры:0-9,A-C);
+
Буквы '''A, B, C, ...''' имеют значения '''10<sub>10</sub>, 11<sub>10</sub>, 12<sub>10</sub>, ...''' соответственно.  
−
* четырнадцатеричная (цифры:0-9,A-D);
+
== Формула числа ==
−
* пятнадцатеричная (цифры:0-9,A-E);
+
[[файл:СС00ф.png]]
−
* шестнадцатеричная (цифры:0-9,A-F).
+
 
−
== Алгоритмы перевода чисел: ==
+
С помощью '''n''' позиций в '''m'''-ричной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от '''0''' до '''m<sup>n</sup>-1''', то есть всего '''m<sup>n</sup>''' различных чисел.
−
*[[перевод чисел из десятичной системы счисления]];
+
== Виды систем счисления: ==
−
*[[перевод чисел в десятичную систему счисления]];
+
{{Список ССчисл}}
−
*[[перевод чисел из двоичной системы счисления в четверичную]];
+
Для перевода чисел из одной системы счисления в другую используются [[алгоритмы перевода чисел]].
−
*[[перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную]];
+
== Примеры алгоритмов: ==
−
*[[перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную]];
+
{{Список ПСС}}
−
*[[перевод чисел из троичной системы счисления в девятеричную]];
+
== [[Разделы математики|Другие понятия:]] ==
−
*[[перевод чисел из четверичной системы счисления в двоичную]];
+
{{Список ДП}}
−
*[[перевод чисел из четверичной системы счисления в восьмеричную]];
+
−
*[[перевод чисел из четверичной системы счисления в шестнадцатеричную]];
+
−
*[[перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную]];
+
−
*[[перевод чисел из восьмеричной системы счисления в четверичную]];
+
−
*[[перевод чисел из девятеричной системы счисления в троичную]];
+
−
*[[перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную]];
+
−
*[[перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в четверичную]].
+
−
== [[Перевод чисел из десятичной системы счисления]] ==
+
−
Сначала производится последовательное деление столбиком исходного числа и получаемых (от предыдущих делений) частных (больших или равных основанию) на основание новой системы счисления и записываются остатки от делений. Деление продолжается до тех пор, пока частное не станет меньше основания.  
+
−
Затем выписываются цифры в новой системе счисления вместо (полученных в десятичной системе счисления) последнего частного и остатков от делений в обратном (получению) порядке.  
+
−
Полученное число является записью исходного числа в новой системе счисления.
+
−
=== Пример перевода 10→2 ===
+
−
[[файл:СС102.JPG]]
+
−
1439<sub>10</sub>=10110011111<sub>2</sub>
+
−
== [[Перевод чисел в десятичную систему счисления]] ==
+
−
Считается сумма произведений цифр исходной системы счисления (предварительно переведённых в десятичную систему счисления) на веса разрядов (основание системы счисления в степени номер разряда, начиная с нулевого) в исходной системе.
+
−
Полученное число является записью исходного числа в десятичной системе счисления.
+
−
=== Пример перевода 2→10 ===
+
−
[[файл:СС202.JPG]]
+
−
== [[Перевод чисел из двоичной системы счисления в четверичную]] ==
+
−
Исходное число двоичной системы счисления разбивается на пары цифр, начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) пара может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0. Затем пары цифр заменяются на соответствующие (по таблице пар) цифры четверичной системы счисления.
+
−
=== Таблица пар ===
+
−
[[файл:ТТ204.JPG]]
+
−
=== Пример перевода 2→4 ===
+
−
[[файл:СТ204.JPG]]
+
−
== [[Перевод чисел из двоичной системы счисления в восьмеричную]] ==
+
−
Исходное число двоичной системы счисления разбивается на триады (тройки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) триада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна или две). Затем триады заменяются на соответствующие (по таблице триад) цифры восьмеричной системы счисления. 
+
−
=== Таблица триад ===
+
−
[[файл:ТТ208.JPG]]
+
−
=== Пример перевода 2→8 ===
+
−
[[файл:СТ208.JPG]]
+
−
== [[Перевод чисел из двоичной системы счисления в шестнадцатеричную]] ==
+
−
Исходное число двоичной системы счисления разбивается на тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления), начиная с цифры единиц (самой правой). Последняя (самая левая) тетрада может быть неполной, тогда в неё слева добавляется цифра 0 (одна, две или три). Затем тетрады заменяются на соответствующие (по таблице тетрад) цифры шестнадцатеричной системы счисления. 
+
−
=== Таблица тетрад ===
+
−
[[файл:ТТ216.JPG]]
+
−
=== Пример перевода 2→16 ===
+
−
[[файл:СТ216.JPG]]
+
−
== [[Перевод чисел из четверичной системы счисления в двоичную]] ==
+
−
Цифры исходного числа четверичной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице пар) пары цифр двоичной системы счисления. Незначащий нуль первой (самой левой) пары опускается (отбрасывается). 
+
−
=== Таблица пар ===
+
−
[[файл:ТТ204.JPG]]
+
−
=== Пример перевода 4→2 ===
+
−
[[файл:СТ402.JPG]]
+
−
== [[Перевод чисел из восьмеричной системы счисления в двоичную]] ==
+
−
Цифры исходного числа восьмеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице триад) триады (тройки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) триады опускаются (отбрасываются). 
+
−
=== Таблица триад ===
+
−
[[файл:ТТ208.JPG]]
+
−
=== Пример перевода 8→2 ===
+
−
[[файл:СТ802.JPG]]
+
−
== [[Перевод чисел из шестнадцатеричной системы счисления в двоичную]] ==
+
−
Цифры исходного числа шестнадцатеричной системы счисления заменяются (слева направо) на соответствующие (по таблице тетрад) тетрады (четвёрки цифр двоичной системы счисления). Незначащие нули первой (самой левой) тетрады опускаются (отбрасываются). 
+
−
=== Таблица тетрад ===
+
−
[[файл:ТТ216.JPG]]
+
−
=== Пример перевода 16→2 ===
+
−
[[файл:СТ162.JPG]]
+
−
== Другие алгоритмы: ==
+
−
*[[наибольший общий делитель]];
+
−
*[[наименьшее общее кратное]];
+
−
*[[проверка кратности]];
+
−
*[[деление по модулю]];
+
−
*[[получение простых чисел]];
+
−
*[[разложение на множители]];
+
−
*[[система счисления]];
+
−
*[[метод математической индукции]];
+
−
*[[схема примитивной рекурсии]];
+
−
*[[рекурсия]];
+
−
*[[машина Поста]];
+
−
*[[машина Тьюринга]];
+
−
*[[Составление перестановок|комбинаторные алгоритмы]];
+
−
*[[сортировка]];
+
−
*[[алгоритм определения мест]].
+
 
== Ссылки ==
 
== Ссылки ==
−
* [[Участник:Logic-samara]]
+
*[[Участник:Logic-samara]]
−
[[Категория:Математика]][[Категория:Алгоритмы]]
+
[[Категория:Математика]][[Категория:Числа]][[Категория:Алгоритмы]]

Текущая версия на 11:46, 14 января 2024

Система счисления — это система записи чисел с помощью цифр, причём положение цифры в числе определяет её вес и численное значение.

Система счисления полностью определяется основанием – числом, которое определяет число цифр (начиная с цифры ноль) в системе и степени которого (начиная с нулевой) определяют веса разрядов чисел (справа-налево).

Обозначения:

m – основание системы счисления, m>1 – натуральное число;

am – натуральное число в m-ричной системе счисления;

a10 – натуральное число в десятичной системе счисления;

n – число цифр в числе am;

bj_m – j-тая (справа-налево) m-ричная цифра числа am, принимает значения цифр от 0 до 9 и латинских букв A, B, C, ...;

bj_10 – десятичное число соответствующее j-той (справа-налево) m-ричной цифре числа am, принимает значения от 0 до m-1. Буквы A, B, C, ... имеют значения 1010, 1110, 1210, ... соответственно.

Формула числа

Файл:СС00ф.png

С помощью n позиций в m-ричной системе счисления можно записать целые числа в диапазоне от 0 до mn-1, то есть всего mn различных чисел.

Виды систем счисления:

Шаблон:Список ССчисл Для перевода чисел из одной системы счисления в другую используются алгоритмы перевода чисел.

Примеры алгоритмов:

Другие понятия:

Ссылки

Источник — «https://allll.net/w/index.php?title=Система_счисления&oldid=122715»